高校数学(大学入試)の秘技!ロピタルの定理が使える条件と使えない場合

こんにちは。ラマです。

周りが知らないような裏ワザを知っていると、なんだか優越感に浸れますよね( ´ ▽ ` )

高校生の頃を思い出すと、人より問題を早く解くために、色んな裏ワザを調べてた記憶があります。

今回、紹介するロピタルの定理も、高校数学で使える裏ワザの代表例ですよね。

『学校では教えないけど、知っていると有利に問題が解ける知識』というのは、これ以外にたくさんありますが、まずは代表格であるロピタルの定理を取り上げたいと思います。

ロピタルの定理の基本をおさらい

ロピタルの定理

$$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$$
$$\lim_{x\to a}f(x)=±\lim_{x\to a}g(x)=±∞$$

のいずれかを満たすとき、

$$\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$$

が存在すれば、

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$$

(ただし、\(a\)と\(L\)は拡大実数であり、\(a\)以外の点で\(g'(x)≠0\)が成り立つとする。)

色んな参考書で取り上げられることの多いロピタルの定理ですが、実は厳密に定義しようと思うとややこしい部分が多々あります。(条件は思ったよりも厳しい)

難しいことを抜きにしていうと、『求めたい極限の式が不定形で定まらないときであっても、分子&分母を微分することで極限が一瞬で求まりますよ』というのロピタルの定理の結論です。(厳密に言えば『求まる可能性がある』)

これは以下のように表現することもできます。


$$\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
が収束するならば、
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

例えば、以下の式は普通に考えると\(\frac{0}{0}\)の不定形となります。
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$$

しかし、分母分子を微分して\(\frac{\cos x}{1}\)とすることによって、極限が『1』と求まるわけです。(ポイントは分子の\(x\)を微分することによって1という定数になること)

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$$

微分が複数回できる

ロピタルの定理が凄いのは、極限が求まる形になるまで微分を重ねることができるという点です。

例えば、以下の極限を考えてみます。

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x^2}$$

このとき、与えられた式を1回微分してみると、\(\frac{\cos x}{2x}\)となりますが、これでは依然として不定形で極限が求まりません。

しかし、もう1回微分してみると、\(\frac{-\sin x}{2}\)となり、極限は\(-\frac{1}{2}\)と求まります。

このようにして、複数回微分できるというのもロピタルの定理のポイントです。

ロピタルの定理が使える条件

ロピタルの定理が使える条件は以下の通り。

条件1
\(f(x)\)、\(g(x)\)が微分可能であること。

条件2
\(\lim_{x\to a}f(x)\)=\(\lim_{x\to a}g(x)\)=0を満たすこと。

条件3
\(\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)が存在すること。

ロピタルの定理が使えないケース

逆に、ロピタルの定理が使えないのは、上に書いた『ロピタルの定理が使える条件』を満たさないときです。

一応書いておくと、

ケース1
\(f(x)\)、\(g(x)\)が微分可能でないとき。

ケース2
\(\lim_{x\to a}f(x)\)=\(\lim_{x\to a}g(x)\)=0を満たさないとき。

ケース3
\(\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)が存在しないとき。

ただ、このようケースは普通、自分で計算しているときに気づきます。

ケース1

与えられた関数が微分できないということは、微分することが前提のロピタルの定理は使えません。

ですので、そもそもロピタルの定理を使おうとすら思いませんよね。

ケース2

ケース2の場合は、つまり与えられた関数が不定形ではないということです。

そのため、あえてロピタルの定理を使う必要がないわけですので、普通は使わないでしょう。

ケース3

微分後の関数の極限が存在しない(収束しない)わけですので、求めようにも求められません。

そのため、ロピタルの定理を使ったからといって極限が求まらない問題であるということを自分自身で気が付きますよね。

ロピタルの定理は高校数学のテストや大学入試で使うと減点対象?

ロピタルの定理は、高校数学を超えます。

そのため、ロピタルの定理を高校数学の定期テストや大学入試で使ってしまうと、減点対象になるというのは私が高校生の頃から有名な話でした。

減点対象ならまだしも、ある大学の教官は『点数を与えない』という風に言っていたというのも噂で聞いたことがあります。(どこ大学の教授の発言かは覚えていませんが…)

そんな噂の流れるロピタルの定理なので、使っても良いのか?という論争が度々起こります。

私の意見としては、『記述式の答案作成ではNGだけど、結論だけ出せば良い私立の穴埋め問題などではOK』と思っています。

厳密な証明もできないのに、ロピタルの定理なんか使ってんじゃねーよ?

ロピタルの定理の厳密な証明を理解していないにもかかわらず、この定理を使って問題を解いてしまったり、間違った理解をしたままロピタルの定理のお世話になることに対して、批判的な人がいます。

確かに、数学の研究をしている人からすると、『ろくな理解もしてないのに、ロピタルの定理とか偉そうに使ってんじゃねーよ』って思うのかもしれません。

でも、知識として高校生が知っておくのは、むしろ良いことだと思います。

少なくとも、私は高校生時代にロピタルの定理と出会い、『すげー!』『魔法みたい!!』って思って感動しました。

それが正しい理解だったかどうかは別として、数学を勉強しているなかで『すごい!』とか『かっこいい!』っていう感動をすることって、めちゃくちゃ大切なことだと思うんです。

こういう感動がきっかけとなって、数学科に進み、本格的に勉強をしていく人がいるかもしれません。

そういう意味では、ロピタルの定理のような発展的な知識は進んで学ぶべきだと個人的には思います。

※もちろん、高校数学の範囲で解ける問題しか入試やテストでは出されないので、正しい解き方を知っておくことは大切ですよ。

まとめ

いろいろ書きましたが、誤解を恐れずにいうと、高校数学の範囲でロピタルの定理が使えない問題って基本的にはありません。

実際、使えない問題はあるのですが、そういう問題はそもそも自分で気が付きます。

上でも解説したように、微分した後の極限が存在しない場合はロピタルの定理を使うことができませんが、そもそも極限が求まらないのですから自分で気が付きますよね。

ロピタルの定理を使ってしまって、間違った極限を導いてしまうなんてことは基本的にありません。

ですので、高校生であっても、検算に利用したり、穴埋め問題などで使って時間節約したり、有効活用すると良いと思います。

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